Fontaine énigmatique

Il y a des moments dans la vie où ce qu'il faut faire pour agir de façon optimale est évident. Et il y a des moments où c'est un peu plus difficile, par exemple face à la fontaine de la cantine.

L'appareil

Il s'agit donc d'une machine destinée à fournir de l'eau aux usager, principalement en remplissant des cruches à apporter sur sa table. Cette machine a deux robinets de sortie, que l'on peut activer indépendemment avec un bouton. Et la subtilité, qui est à la source de toute l'énigme, est que le débit de sortie est le même quelque soit le nombre de robinets allumés.

Je m'explique : comme les deux robinets sont équivalents, on peut considérer qu'il y a trois modes de fonctionnement à cette machine :

  • aucun robinet ouvert : la machine est au repos, et l'eau ne coule pas ;
  • un robinet ouvert : l'eau coule par ce robinet, avec un certain débit que j'appelerai D ;
  • les deux robinets sont ouvert : l'eau coule par les deux robinets, mais avec un débit total égal à D, ce qui veut dire que chaque robinet a un débit D/2, moitié moins que si l'autre était éteint.

L'énigme

Lorsqu'on est seul à utiliser cette machine, il n'y a pas à réfléchir : on pose la cruche sous l'un des deux robinets, on l'allume, et lorsque la cruche est pleine on l'éteint.

Mais comme je ne suis pas la seule utilisatrice de la cantine, il arrive fréquemment que quelqu'un d'autre arrive pendant que je remplis ma cruche. L'énigme est la suivante : supposons que Bob arrive pendant qu'Alice est en train de remplir sa cruche. Quel est le comportement optimal pour Bob ?

Intermède

Vous voulez peut-être réfléchir un peu à cette énigme avant que je vous donne la solution. Mais il y a des gens qui lisent vite, et qui on déjà commencé à lire ce paragraphe avant d'avoir compris qu'il y avait une question.

Donc je ne mets pas la réponse tout de suite ici, je temporise un peu avec la section présente, pour que tous ceux qui veulent réfléchir mais qui lisent vite puissent s'arrêter avant de tomber sur du spoiler.

Pour finir cet intermède, voici le comportement le plus courant dans cette situation : Bob arrive, pose tout de suite sa cruche sous le robinet libre, et commence le remplissage.

L'énigme est de chercher le comportement optimal si tout le monde réfléchit sérieusement. Mais on peut déjà voir à quel point cette solution courante est sous-optimale pour Alice : « J'étais là la première, et v'là t-y pas qu'un abruti se ramène et me diminue mon débit, ce qui me fait poireauter plus longtemps devant cette machine pendant que mon repas refroidit. » Ce qui, au passage, n'empêchera pas Bob de se dire : « Elle a pas bientôt fini cette pouf', qu'elle me rende l'autre moitié du débit ? »

Parce que Bob n'a pas non plus envie de rester des heures devant cette machine, parce que son repas refroidit aussi. Plus tôt on commence à remplir la cruche, plus tôt on a fini et mieux c'est.

La solution

Sauf qu'en fait, non, et c'est ça le résultat que j'ai trouvé un peu contre-intuitif de prime abord. Quelque soit le moment où la Bob ouvre son robinet, sa cruche sera pleine au même moment.

En effet, soit T le temps qu'il faut pour remplir une cruche en ayant tout le débit. Alice commence à remplir ma cruche à t = 0. Donc si presonne ne vient l'embêter pendant son remplissage, elle termine à t = T.

Supposons que Bob commence à remplir sa cruche à t = t1. S'il attend gentilment qu'Alice finisse sa cruche, ça donne t1 = T, et donc il finira sa cruche à t = 2T. Bien entendu, personne n'a aucun intérêt à ce qu'il commence à t1 > T, genre ça voudrait qu'il attend alors qu'il a la machine pour lui tout seul.

Mais si Bob commence son remplissage plus tôt, on a t1 < T, donc pendant une durée t1 Alice a tout le débit, et ensuite elle n'en a plus que la moitié. Il faut donc deux fois plus de temps pour faire le reste, c'est-à-dire qu'au lieu de remplir sa cruche en T-t1 après l'arrivée de Bob, il lui faut 2(T-t1). Alice aura donc rempli sa cruche à t = t1+2(T-t1) = 2T-t1.

Au moment où Alice à fini, Bob récupère tout le débit. Pendant que les deux cruches se remplissent, comme le débit est égal dans les deux robinets, Bob a eu autant d'eau qu'Alice. Ce qui veut dire qu'une fois qu'Alice à fini, il manque à Bob autant d'eau que qu'avait Alice au moment où il a commencé. Et comme il a tout le débit, ça fait que pour finir de remplir sa cruche il lui faut un temps t1 après le départ d'Alice.

Donc Bob aura fini de remplir sa cruche à t = (2T-t1)+t1 = 2T. Voilà donc le résultat que je ne trouvais pas évident : Bob termine de remplir sa cruche au même moment quelque soit le moment où il commence. Parce que plus il commence tôt, plus il faut qu'Alice reste longtemps pour finir, et donc plus il a le demi-débit longtemps ; et tout ça se compense parfaitement pour Bob.

Donc la seule personne affectée par la date de début de remplissage de la cruche de Bob, c'est Alice, parce que plus il commence tôt plus elle termine tard. Le comportement optimal pour Bob est donc d'attendre qu'Alice ait fini pour enchaîner juste après : il n'a rien à y perdre, et Alice y gagne.

Conclusion

Mon comportement personnel est légèrement sous-optimal : je n'attends pas exactement le moment où l'autre s'arrête pour commencer, je commence un petit peu avant. Parce que la plupart des gens remplissent le plus possible leur cruche, et le débit plus faible sur la fin est bienvenu pour remplir au maximum sans déborder.

Je n'ai encore jamais vu personne d'autre que moi avoir ce comportement. Et aujourd'hui, j'ai vu pour la première fois quelqu'un qui a attendu que je finisse pour commencer.

La question que je me pose maintenant, c'est combien de personnes ont déjà tenu cette réflexion ? Combien de personnes se sont au moins posé la question ? Combien ont au moins remarqué que le débit change suivant le nombre de robinets ouverts ?

Est-ce que je suis complètement tarée pour tenir des réflexions comme ça ? (notons quand même que pour me poser la question et arriver de tête à cette réponse, il ne m'a pas fallu plus de quelques dizaines de secondes, c'est pas comme si j'y avais planché des heures non plus).

Publié le lundi 11 février 2008 à 14:07.

Catégories : Boulot Moi

Commentaires

1. Le lundi 11 février 2008 à 14:34, par _FrnchFrgg_ :

Moi j'ai vu un comportement assez étrange la dernière fois que je suis allé au RU: Un gars, très grand et très large, genre qui prend toute la place, est venu remplir son pichet au milieu du remplissage du mien, mais est resté DEVANT jusqu'à ce que son pichet soit rempli à ras-bord, en ignorant magistralement le mien qui débordait à qui mieux-mieux à côté. Cet idiot n'a même pas pensé à couper mon robinet.

Qui dit mieux ?

2. Le lundi 11 février 2008 à 14:38, par _FrnchFrgg_ :

Et sinon, tu as oublié une donnée, qui est difficilement mesurable malheureusement, et qui peut influencer le comportement de Bob: la plupart du temps une personne qui remplit remplira moins haut si le débit est de moité, à cause du facteur agacement. Ce qui fait que commencer à remplir en même temps que le précédent va entrainer une diminution du volume accaparé par Alice, donc une diminution du temps total pour Bob

3. Le lundi 11 février 2008 à 14:41, par _FrnchFrgg_ :

Une variante plus musclée est le "pousse toi de là que je m'y mette", nettement plus efficace, mais plus risquée. Il y a aussi le vol de pichet.

J'ai du voir une fois la première méthode, avec un gars qui arrive et qui coupe le robinet de la personne précédente; la deuxième jamais, mais je suis bien sûr que d'aucuns y ont pensé.

4. Le lundi 11 février 2008 à 14:43, par _FrnchFrgg_ :

Et jamais 3 sans 4:

La question que moi je me pose, c'est qui a décidé de mettre deux robinets sur ces machines, alors qu'un simple calcul peut montrer que ça n'accélère pas les choses à long terme, voire que ça a tendance à les ralentir ? Moi je dis que c'est machiavélique; ça fait partie d'un plan insidieux pour rendre les RU insupportables.

5. Le lundi 11 février 2008 à 14:57, par K :

Tain je me suis déjà posé cette question. J'ai ce même genre de fontaine. C'est cool de voir qu'il y a des gens qui me ressemblent un peu dans ce genre de chose (car bon je ne pense pas que nous soyons très nombreux à nous être posé la question. Tiens je vais en parler au prochain repas).
Si j'ai tout compris, je raye Alice (ca en fait un de moins... Merci). Bob aussi d'ailleurs (je n'élimine rien).

6. Le lundi 11 février 2008 à 16:46, par Laurent :

Mon intuition c'était que ça ne changeait rien. Quand je suis Bob, je remplis de suite. Je ne perds pas de temps et en bonus j'en fait perdre à Alice.

7. Le mardi 12 février 2008 à 0:22, par Christian :

La meilleure solution, c'est de virer Alice a coup de pompes, et de prendre le debit 2*q pour soi tout seul. C'est ca la solution optimale (avec un critere d'opt proche de celui de Laurent.

8. Le mardi 12 février 2008 à 10:03, par Nimue :

A ben comme quoi, on est plein à s'etre déjà posé la question.
J'avais le même type de fontaine en Internat. Alors oui, je me suis déjà posée la question.
La ruse était simple : prend la table juste à coté de la fontaine. Comme ça on qu'a tendre le bras pour récuperer la cruche et on peut entammer le repas au lieu d'être debout betement devant une fontaine.
Parce que si il faut compter sur l'intelligence des autres gens pour diminuer le temps perdu à la fontaine...

Celà dit, je suis d'accord sur le fait que c'est machiavélique, Je serais presque tentée de penser que la cantine a été inventée par le diable lui même : c'est le seul endroit où on peut trouver des cuillères qui coupent mieux que les couteaux, des saucisses avec encore le celophane, ... et j'en passe

9. Le mardi 12 février 2008 à 11:20, par Natacha :

Un gros tas de commentaires \o/ ça fait vraiment chaud au cœur, pour une fois que ça arrive...

Ça compense la légère déception de se rendre compte que finalement, il y a quand même pas mal de monde qui s'est posé cette question d'optimisastion... J'imagine qu'il faut bien s'occuper l'esprit pendant que cette saleté de cruche se remplit.

Je suis aussi un peu déçue de voir que même les gens qui réfléchissent n'optent pas pour la solution harmonieuse et altruiste qui est optimale à l'échelle du groupe. On dirait bien qu'on est pas au pays des bisounours... bon ok, je le savais déjà, mais quand même, pour quelque chose d'aussi petit, je m'attendais quand même à plus d'altruisme. J'imagine que la seule façon que ça se passe bien, c'est que Bob ait des vues sur Alice.

Ou alors c'est justement à cause du caractère diabolique de cette machine, qui en plus, insidieusement, amplifie le côté égoïste et machant des utilisateurs à proximité. Ça s'exorcise, une fontaine de cantine ?

10. Le mardi 12 février 2008 à 13:42, par Keeh :

Solution perso : ne pas boire d'eau pendant les repas.

11. Le mercredi 13 février 2008 à 9:08, par Nimue :

Je connais des gens (une en fait) pour qui tout s'exorcice...même les téléphones, alors pourquoi pas une fontaine de cantine.

12. Le mercredi 13 février 2008 à 12:43, par K :

Oui mais si Alice est mignonne, autant remplir sa carafe sans attendre de façon à avoir un peu plus de temps pour draguer Alice.

Et puis si Bob a lu ton article, il va attendre ok, mais son collègue Joe lui ne l'a ptêtre pas lu et va piquer la place libre. Du coup Alice est ralentie et Bob a l'air con.

13. Le mercredi 13 février 2008 à 15:15, par Cinn :

Oui, mais... Moi, intuitivement, j'aurais estimé que le débit est peut-être inférieur sur chaque robinet lorsque les deux sont ouverts, mais supérieur au total si l'on ouvre les deux...

Mon hypothèse présenterait donc la fontaine de la façon suivante :
Zéro robinet ouvert : zéro débit
Un robinet ouvert : un débit d1
Deux robinets ouverts : deux débits, chacun égal à d2, que l'on suppose égaux pour pas se prendre la tête non plus, mais avec 2d2>d1. (alors que tu supposes d'emblée que d1=2d2

Auquel cas, Bob gagne du temps s'il commence à tirer de l'eau avant qu'Alice ait terminé, même s'il la ralentit...

Sinon, où est l'intérêt d'avoir deux robinets ?

- Donner l'illusion à chacun de ne pas perdre son temps (puisque tu es en train de nous expliquer que Bob ne perd pas de temps en attendant qu'Alice termine de remplir son pichet) ?

- Permettre à Bob de ne pas attendre que Alice finisse de remplir son pichet s'il n'a qu'un modeste gobelet à remplir ?

La seule conclusion que je peux tirer si mon hypothèse est fausse, c'est que les fontaines à eau ne sont pas conçues pour des matheux mais par pure démagogie et volonté de poudre aux yeux de pauvres humains un peu égoïstes...

14. Le jeudi 14 février 2008 à 9:25, par Natacha :

K, oui, la bonne attitude pour Bob me semble être de mettre tout de suite sa cruche sous le robinet, et attendre qu'Alice ait fini avant d'ouvrir son robinet. Ça évite de se faire griller la place par un abruti qui ne comprend rien à la vie.

Cinn, c'est vrai que maintenant j'ai un doute... J'étais partie du principe que le facteur limitant était quelque chose dans la machine ou en amont, qui limite le débit. Mais après tout, pourquoi limiter le débit ? Et d'abord, est-ce qu'il est physiquement possible de limiter un débit ? Voilà, je souffre de mes lacunes lamentables en mécanique des fluides. Parce que ce qui est facile à fixer, c'est la pression, et à partir de là il doit être possible de calculer le débit, en connaissant les paramètres géométriques du problème. Ouvrir le deuxième robinet, c'est changer la géométrie, ça revient en gros à doubler la section par laquelle le fluide peut s'écouler. Si la pression en amont reste constante, comment évolue le débit dans ce cas ? Y a-t-il un physicien dans la salle ?

15. Le samedi 16 février 2008 à 11:12, par Lonewolf_ :

N'y a-t-il pas aussi le fait que si Bob attend que Alice ait fini, il y a plus de chance que Charlie arrive à faire la queue derrière Alice et que Bob n'ait jamais le débit pour lui tout seul alors que s'il pourrit Alice, elle finira par partir avant lui sans être forcément remplacée ?

16. Le mardi 26 février 2008 à 12:44, par Willy :

J'avoue que je m'étais déjà posé cette question, mais avec la flemme de prendre le temps d'y répondre. Cela dit le commentaire de Lonewolf_ me parait pertinent. Mais appelons Charlie Oscar, c'est le méchant qui n'attend pas son tour.

Je sens que ce post va interesser (ou pas) plein de monde qui mange au RU.

Copyright © 2007-2008 Natacha Kerensikova

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